Exercice 1

Les dimensions d'une caisse sont 105 cm , 165 cm et 105cm. On veut réaliser des boites cubiques, les plus grandes possible qui permettent de remplir entièrement la caisse. Quelle doit être la longueur de l'arête et combien de telle boite peut on placer dans la caisse?

Réponse :

Pour pouvoir remplir le caisse entièrement, il faut que la longueur de l'arête du cube soit à la fois un multiple de 165 et de 105. Si ce n'est pas le cas, il y aura un espace vide entre les cubes et la caisse. De plus, comme on veut la plus grande boite cubique possible, il faut prendre le multiple le plus grand.
Il faut donc trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) entre 165 et 105.

On utilise la méthode d'Euclide

Le PGCD est donc égal à 15.

L'arête du cube est égale à 15 cm.

Et maintenant, combien de boite cubique peut - on mettre dans la caisse ?

165 / 15 = 11 (11 boites en longueur)
105 / 15 = 7 (7 boites en hauteur et 7 boites en profondeur)

11 x 7 x 7 = 539 boites cubiques de 15 cm d'arête

Vérification du résultat

On calcule le volume de la caisse : 165 x 105 x 105 = 1819125 cm3

On calcule le volume occupé par les 539 boites cubiques
15 x 15 x 15 x 539 = 1819125 cm3

Les volumes sont identiques. Notre résultat est juste.